Derivadas

Derivadas

Actividad #1: Se colocará en el blog el siguiente cuadro completado y las respuestas que aparecen al final de este apartado.

Para completarlo se usará:

-          Las clases del profesor del viernes 10/12 y martes 14/12

-          Libro de Cálculo

-          Presentación en Flash que se encuentra en módulo 7 titulada: Reglas de derivación

-          En las clase del martes 14 se podrá preguntar dudas concretas al profesor para terminar de completar el cuadro.

Una vez completado el cuadro, responde:

- Antes de aplicar una regla de derivación, ¿qué debes hacer, independientemente de cuál sea la función?

     Antes de derivar cualquier función, se debe identificar qué tipo de función es para luego identificar y aplicar la regla de derivación "líder", es decir, aquella que es unificadora.

- ¿Se puede aplicar la misma regla a todas las funciones? ¿Por qué?

     No se puede aplicar la misma regla a todas las funciones debido a que cada función tiene una forma especifica en la que se debe derivar.

-Se puede derivar una misma función utilizando reglas diferentes?. ¿Por qué?

 Si se puede derivar una misma función utilizando reglas diferentes porque una función puede tener contenida distintos tipos de funciones (polinómica, racional, logaritimica, etc)  por lo que para resolver cada una se debe aplicar una regla específica.

Actividad# 2:  Planifica tu propia estrategia para derivar funciones. Para ello, formula preguntas que debes responder antes de derivar, mientras derivas y después que derivas cualquier función.

¿Qué tipo de función es?

¿Cuál es la regla que se debe aplicar, que unifica a todas las demás?

Una vez identificada dicha regla. ¿Cómo se aplica?

¿Qué otras reglas están presentes y como se aplican?

¿Puedo simplificar?¿Cómo?

Referencias

Galván, D. y Otros. (2006). Cálculo diferencial para administración y ciencias sociales. Un enfoque constructivista mediante la reflexión y la interacción. México: Pearson Educación.

Pimienta,  J.  (2005).  Constructivismo. Estrategias para aprender a aprender. México: Pearson Educación.

Prado,  C.  y  Otros.  (2006). Cálculo diferencial para ingeniería.  México: Pearson Educación.

Stewart, J. (1999) .  Cálculo diferencial e integral. México: Thomson

Thomas, G. y Finney, R. (1998). Cálculo una variable. México: Pearson. Addison Wesley Longman 

Hipérbola

La Hipérbola

    (Conceptos)

      La Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es igual a una constante positiva, que equivale a la distancia entre los vértices.. Cualquier punto de la hipérbola cumple que: 

         |PF-PF'|=2a

     

             Enlace de interés                         

  Fuente Fuente 2

Elementos

Focos: sean F y F’ dos puntos de un plano (FF’). La hipérbola de focos F y F’ es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a, siendo a > 0 .  
Eje Focal: es la recta que pasa por los focos.
Eje no focal o normal:es la mediatriz del segmento FF'
Centro: es el punto de intersección O de dos ejes. 
Vértices: son los puntos A y A’ de interseccion de la hipérbola con el eje focal.
Distancia focal: es el segmento FF' de longitud 2c
Eje mayor: segmento del eje focal limitado por los vertices y que mide 2a
Eje menor: segmento del eje normal limitado por los puntos

Fuente 1/2

Procedimiento

Si cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

 (Usando distancia entre dos puntos)

Realizando las operaciones llegamos a:

Fuente

Tipos, características y ecuaciones.

Ecuación canónica

Con C(0,0) y F(-c,0) y F'(c,0 ) ( Hipérbola Horizontal)

Con C(0,0) y F(0, -c) y F'(0,c) (Hipérbola Vertical)

Con C(h,k) y eje focal paralelo al eje x  (Hipérbola Horizontal)

Con C(h,k) y eje focal paralelo al eje y (Hipérbola Vertical)

Teorema 1: 

       Para que una expresión sea identificada como hipérbola en su forma canónica esta debe cumplir que:

-El segundo miembro sea =1

-Las expresiones del primer miembro se estén restando, a diferencia de la elipse.

- Los coeficientes deben ser distintos.

Ejemplo:  

 

C(-3,2) 

a=3

b= 2

Error común: poner los valores de a y b tal como están en vez de sacar la raíz cuadrada

Ecuación General

     Al desarrollar los productos notables y quitar los denominadores de la ecuación canónica obtenemos la ecuación general de la hipérbola:

Ax²-Cy²+Dx+Ey+F=0               

Teorema 2:

- A y C deben ser de signos diferentes

- A y C tienen que ser distintos de cero y entre sí

- Las variables que acompañan a C y A deben estar elevadas al cuadrado.

- Para poder saber si en realidad es una hipérbola se debe pasar de la general a la canónica y cumplir las condiciones del teorema 1.

Ejemplo:  

a) Pasar a la forma canónica , la ecuación general -25x²+16y²+50x-64y-361=0, correspondiente a una hipérbola.

-25x²+16y²+50x-64y-361=0

Pasando el término independiente al segundo miembro:

-25x²+16y²+50x-64y=361

Se agrupan términos semejantes:

(-25x²+50x)+(16y²-64y)=361

Factorizando:

-25(x²+2x)+16(y²-4y)=361

Completamos cuadrados y resolviendo:

 Solución:   

Errores comunes: no poner el signo negativo entre las dos expresiones de la canónica y no poner los elementos agregados en el segundo miembro al completar cuadrados.

b) Pasar a la forma general la siguiente ecuación canónica:

Eliminando los denominadores y desarrollando los productos notables:

9(y-2)²-4(x+3)²=36

9(y²-4y+4)-4(x²+6x+9)=36

9x²-36y+36-4x²-24y-36=36   

 Solución: 4x²-9y²+24x+36y+36=0

Fuente 1 Fuente 2 Fuente 3

Graficación

     Los elementos mínimos que se necesitan para poder realizar una gráfica básica de una hipérbola son su centro C0(x0,y0) y sus vértices (A y A'), lo cual nos indicará si la hipérbola es horizontal o vertical y a su vez se conocerá la distancia 2a del eje mayor. La graficación generalmente se realiza en un plano cartesiano.

Fuente

Conocimientos teóricos previos

Estudio de cónicas (elipse, parábola y circunferencia)

Plano cartesiano

Completación de cuadrados

Distancia entre dos puntos

Otras nociones de geometría analítica

Resolución de ecuaciones

Productos notables.

Potenciación

Triángulos

Triángulos

     Un triángulo es una poligonal cerrada con tres rectas que se cortan en tres puntos no alineados (vértices) y  posee tres ángulos interiores cuya suma siempre es de 180º.

                                     

Clasificación

Según sus ángulos 

Obtusángulo: triángulo que tiene un ángulo mayor de 90°.

Acutángulo:triángulo cuyos ángulos internos son menores a 90°.

Rectángulo: es un triangulo que posee un ángulo de 90º grados.

Según la longitud de sus lados

Equilátero: Todos sus lados miden lo mismo  y por lo tanto todos sus angulos son iguales.

Isósceles: Tiene dos lados iguales y uno desigual.

Escaleno: Los tres lados son desiguales.

Rectas y puntos notables de un triángulo


Altura: Es la recta que pasa por el vértice de un triángulo y es perpendicular al lado opuesto.

Mediana: son las tres rectas que unen cada vértice del triángulo con el centro del lado opuesto.

Mediatriz: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un lado del triángulo.

Bisectriz: son las rectas que dividen a cada ángulo, de los ángulos del triángulo, en dos ángulos iguales.

Ortocentro: punto donde se cortan las tres alturas de un triangulo.

Baricentro: punto de intersección de las medianas de cada uno de los lados.

Circuncentro: es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados.

Incentro: punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos.

  Fuentes: 1 2 3 4 5 6 7 8 

Nature by Numbers

     En el comienzo del video, durante la creación del caracol de mar, aparece la Sucesión de Fibonacci, la cual es utilizada para calcular el espiral del caracol. Ésta sucesión es una sucesión infinita de números naturales que tiene numerosas aplicaciones, desde las ciencias de la computación hasta en configuraciones biológicas.

     El video es bastante interesante, sobretodo la parte de la libélula, ya que demuestra que todo lo que existe puede ser explicado mediante modelos matemáticos.

    El Cálculo y sus aplicaciones 

     El cálculo es la matemática del cambio y el movimiento. Provee un marco para el modelo de sistemas en los que ocurre un cambio y una manera de deducir predicciones de estos mismos.

     El cálculo provee métodos para resolver dos grandes clases de problemas. El primero de estos involucra saber la frecuencia a la cual una cantidad variable cambia, por ejemplo, cuando un cuerpo viaja en línea recta, la distancia desde el punto de partida cambia a medida que pasa el tiempo y podríamos preguntarnos cuán rápido se está moviendo en algún instante específico. Llamamos a la rama del cálculo que trata con este tipo de problemas Cálculo Diferencial.

     Por otro lado, si nos dan la velocidad de un cuerpo en movimiento en cualquier momento, podríamos buscar la distancia que ha recorrido como una función del tiempo. Este otro tipo de problema, el de encontrar una función en la que su frecuencia de  cambio es conocida pertenece al dominio del Cálculo Integral.

     La ciencia moderna y la ingeniería usan ambas ramas del cálculo para expresar leyes físicas en términos matemáticos precisos  y estudiar sus consecuencias.

Fuente: Calculus and Analytic Geometry, Thomas/Finney, Fifth Edition.

El cálculo en la vida diaria

     Como experiencia personal con el cálculo, voy a tomar como ejemplo los auriculares.  Éste es un dispositivo de tipo transductor, es decir,  que puede transformar un tipo de energía de entrada, en otro de diferente a  la salida. Específicamente transforma impulsos  eléctricos  en una señal de ondas sonoras audible mediante una serie de mecanismos.

     El cálculo está presente en este dispositivo debido a que “la frecuencia de una onda sonora depende de con que periodicidad vibren las partículas del medio, en el momento en que este es atravesado por una onda. Dicha frecuencia es medida según el número de vibraciones completas de una partícula del medio por unidad de tiempo. Si una partícula de aire experimenta 1000 vibraciones longitudinales durante 2 segundos, entonces, la frecuencia de la onda es de 500 vibraciones por segundo”.  Elementos como las ondas sonoras, el tiempo y las partículas del medio representan las variables y la frecuencia de una onda sonora representa una función.

Fuente 1/Fuente 2

En la ingeniería civil

     En la construcción de una estructura como un edificio alto o un rascacielos la aplicación del cálculo se siente en numerosos aspectos, por ejemplo, el viento que circula por la zona en la que es construida la estructura es un factor que actúa como variable, ya que  características como la velocidad, el ángulo de incidencia, la densidad, entre otros, tienen la capacidad de influir en gran parte de las características de la obra como los materiales, las medidas, la forma de la estructura, el ángulo de construcción, etc .

Fuente