Cálculo I: Hipérbola

La Hipérbola

(Conceptos)

La Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es igual a una constante positiva, que equivale a la distancia entre los vértices.. Cualquier punto de la hipérbola cumple que:

|PF-PF'|=2a

Enlace de interés

Fuente Fuente 2

Elementos

Focos: sean F y F’ dos puntos de un plano (FF’). La hipérbola de focos F y F’ es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a, siendo a > 0 .
Eje Focal: es la recta que pasa por los focos.
Eje no focal o normal:es la mediatriz del segmento FF'
Centro: es el punto de intersección O de dos ejes.
Vértices: son los puntos A y A’ de interseccion de la hipérbola con el eje focal.
Distancia focal: es el segmento FF' de longitud 2c
Eje mayor: segmento del eje focal limitado por los vertices y que mide 2a
Eje menor: segmento del eje normal limitado por los puntos

Fuente 1/2

Procedimiento

Si cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

(Usando distancia entre dos puntos)

Realizando las operaciones llegamos a:

Fuente

Tipos, características y ecuaciones.

Ecuación canónica

Con C(0,0) y F(-c,0) y F'(c,0 ) ( Hipérbola Horizontal)

Con C(0,0) y F(0, -c) y F'(0,c) (Hipérbola Vertical)

Con C(h,k) y eje focal paralelo al eje x (Hipérbola Horizontal)

Con C(h,k) y eje focal paralelo al eje y (Hipérbola Vertical)

Teorema 1:

Para que una expresión sea identificada como hipérbola en su forma canónica esta debe cumplir que:

-El segundo miembro sea =1

-Las expresiones del primer miembro se estén restando, a diferencia de la elipse.

- Los coeficientes deben ser distintos.

Ejemplo:

C(-3,2)

a=3

b= 2

Error común: poner los valores de a y b tal como están en vez de sacar la raíz cuadrada

Ecuación General

Al desarrollar los productos notables y quitar los denominadores de la ecuación canónica obtenemos la ecuación general de la hipérbola:

Ax²-Cy²+Dx+Ey+F=0

Teorema 2:

- A y C deben ser de signos diferentes

- A y C tienen que ser distintos de cero y entre sí

- Las variables que acompañan a C y A deben estar elevadas al cuadrado.

- Para poder saber si en realidad es una hipérbola se debe pasar de la general a la canónica y cumplir las condiciones del teorema 1.

Ejemplo:

a) Pasar a la forma canónica , la ecuación general -25x²+16y²+50x-64y-361=0, correspondiente a una hipérbola.

-25x²+16y²+50x-64y-361=0

Pasando el término independiente al segundo miembro:

-25x²+16y²+50x-64y=361

Se agrupan términos semejantes:

(-25x²+50x)+(16y²-64y)=361

Factorizando:

-25(x²+2x)+16(y²-4y)=361

Completamos cuadrados y resolviendo:

Solución:

Errores comunes: no poner el signo negativo entre las dos expresiones de la canónica y no poner los elementos agregados en el segundo miembro al completar cuadrados.

b) Pasar a la forma general la siguiente ecuación canónica:

Eliminando los denominadores y desarrollando los productos notables:

9(y-2)²-4(x+3)²=36

9(y²-4y+4)-4(x²+6x+9)=36

9x²-36y+36-4x²-24y-36=36

Solución: 4x²-9y²+24x+36y+36=0

Fuente 1 Fuente 2 Fuente 3

Graficación

Los elementos mínimos que se necesitan para poder realizar una gráfica básica de una hipérbola son su centro C0(x0,y0) y sus vértices (A y A'), lo cual nos indicará si la hipérbola es horizontal o vertical y a su vez se conocerá la distancia 2a del eje mayor. La graficación generalmente se realiza en un plano cartesiano.