(Conceptos)
La Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es igual a una constante positiva, que equivale a la distancia entre los vértices.. Cualquier punto de la hipérbola cumple que:
|PF-PF'|=2a
Elementos
Focos: sean F y F’ dos puntos de un plano (FF’). La hipérbola de focos F y F’ es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a, siendo a > 0 . Eje Focal: es la recta que pasa por los focos.
Eje no focal o normal:es la mediatriz del segmento FF'
Centro: es el punto de intersección O de dos ejes.
Vértices: son los puntos A y A’ de interseccion de la hipérbola con el eje focal.
Distancia focal: es el segmento FF' de longitud 2c
Eje mayor: segmento del eje focal limitado por los vertices y que mide 2a
Eje menor: segmento del eje normal limitado por los puntos
Procedimiento
Si cualquier punto de la hipérbola cumple:
Esta expresión da lugar a:
(Usando distancia entre dos puntos)Realizando las operaciones llegamos a:
Tipos, características y ecuaciones.
Ecuación canónica
Con C(0,0) y F(-c,0) y F'(c,0 ) ( Hipérbola Horizontal)
Con C(0,0) y F(0, -c) y F'(0,c) (Hipérbola Vertical)
Con C(h,k) y eje focal paralelo al eje x (Hipérbola Horizontal)
Con C(h,k) y eje focal paralelo al eje y (Hipérbola Vertical)
Teorema 1:
Para que una expresión sea identificada como hipérbola en su forma canónica esta debe cumplir que:
-El segundo miembro sea =1
-Las expresiones del primer miembro se estén restando, a diferencia de la elipse.
- Los coeficientes deben ser distintos.
Ejemplo:
C(-3,2)
a=3
b= 2
Error común: poner los valores de a y b tal como están en vez de sacar la raíz cuadrada
Ecuación General
Al desarrollar los productos notables y quitar los denominadores de la ecuación canónica obtenemos la ecuación general de la hipérbola:
Ax²-Cy²+Dx+Ey+F=0
Teorema 2:
- A y C deben ser de signos diferentes
- A y C tienen que ser distintos de cero y entre sí
- Las variables que acompañan a C y A deben estar elevadas al cuadrado.
- Para poder saber si en realidad es una hipérbola se debe pasar de la general a la canónica y cumplir las condiciones del teorema 1.
Ejemplo:
a) Pasar a la forma canónica , la ecuación general -25x2+16y2+50x-64y-361=0, correspondiente a una hipérbola.
-25x2+16y2+50x-64y-361=0
Pasando el término independiente al segundo miembro:
-25x2+16y2+50x-64y=361
Se agrupan términos semejantes:
(-25x2+50x)+(16y2-64y)=361
Factorizando:
-25(x2+2x)+16(y2-4y)=361
Completamos cuadrados y resolviendo:
Solución: 
Errores comunes: no poner el signo negativo entre las dos expresiones de la canónica y no poner los elementos agregados en el segundo miembro al completar cuadrados.
b) Pasar a la forma general la siguiente ecuación canónica:
Eliminando los denominadores y desarrollando los productos notables:
9(y-2)2-4(x+3)2=36
9(y2-4y+4)-4(x2+6x+9)=36
9x2-36y+36-4x2-24y-36=36
Solución: 4x2-9y2+24x+36y+36=0
Graficación
Los elementos mínimos que se necesitan para poder realizar una gráfica básica de una hipérbola son su centro C0(x0,y0) y sus vértices (A y A'), lo cual nos indicará si la hipérbola es horizontal o vertical y a su vez se conocerá la distancia 2a del eje mayor. La graficación generalmente se realiza en un plano cartesiano.
Conocimientos teóricos previos
Estudio de cónicas (elipse, parábola y circunferencia)
Plano cartesiano
Completación de cuadrados
Distancia entre dos puntos
Otras nociones de geometría analítica
Resolución de ecuaciones
Productos notables.
Potenciación
